今回は，練習を兼ねて，限量子での同値の関係にある変形を見てみる．
「とべないトリがいる」は，述語「トリである」をB，述語「とべる」をFとすると，次の様に書ける．
∃x(B(x)∧¬F(x))
これは，「全てのトリがとべるわけではない」ということと同じと考えると，次の様にも書ける．
¬∀x (B(x) → F(x))
この式を変形してみる．B(x)→F(x)は，以前に命題論理のときに操作したように，¬B(x) ∨ F(x)と書ける．¬∀xP(x)が∃x(¬P(x))と書くことができれば，¬(¬B(x) ∨ F(x)）は，B(x)∧¬F(x)なので，最初と同じになる．
¬∀xP(x)が∃x(¬P(x))は，ここでは，明らかであるということにしておく（次回の全称量子化の置き換え・インスタンス化を使用する）．
さて，幾つかの定理を並べる．
なお，「⊣⊢」の意味は， φ1 ⊢ φ2 であり，かつ φ2 ⊢ φ1という定理を示している．これらの規則は背理法を用いて示すことができる．最後に，限量子の除去に関して，簡単に説明する．前半部分は，おそらく明らかであろう．なお，「束縛」と「限量子の除去」において，ψは，xを項として持つ．
| 否定 |
¬∀xφ⊣⊢∃x¬φ |
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¬∃x φ ⊣⊢ ∀x ¬φ |
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| 束縛 |
∀x φ ∧ ψ ⊣⊢ ∀x (φ ∧ ψ) |
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∀x φ ∨ ψ ⊣⊢ ∀x (φ ∨ ψ) |
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∃x φ ∧ ψ ⊣⊢ ∃x (φ ∧ ψ) |
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∃x φ ∨ ψ ⊣⊢ ∃x (φ ∨ ψ) |
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| 限量子の除去 |
∀x(ψ→φ)⊣⊢ψ→∀xφ |
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∃x(φ→ψ)⊣⊢∀xφ→ψ |
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∀x(φ→ψ)⊣⊢∃xφ→ψ |
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∃x(ψ→φ)⊣⊢ψ→∃xφ |
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| 束縛範囲 |
∀xφ∧∀xψ⊣⊢∀x(φ∧ψ) |
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∃x φ ∨ ∃x ψ ⊣⊢ ∃x (φ ∨ ψ) |
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| 束縛順 |
∀x∀yφ ⊣⊢ ∀y∀xφ |
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∃x∃yφ ⊣⊢ ∃y∃xφ |
∀x(ψ→φ)⊣⊢ψ→∀xφを説明する．
最初は，∀x(ψ→φ) ⊢ ψ→∀xφ から．
結論を否定すると，¬(ψ→∀xφ)．これは，ψ ∧ ¬∀xφと同じ．
ψも¬∀xφもともに真でなくてはならない．即ち，∃x¬φ（表の一番上の規則）
前提で，ψが真の場合，φはつねに真でなくてはならない．これは，偽の場合もあるという∃x¬φと矛盾するので，背理法から∀x(ψ→φ) ⊢ ψ→∀xφがいえる．
次にψ→∀xφ⊢∀x(ψ→φ) を示す．結論を否定して仮定を作る．∃x¬（ψ→φ）（表の一番上の規則から）．これは，∃x（ψ ∧¬φ）と変形できる．つまり，ψが真，φが偽になる組が存在する．ところが，前提は，ψ→∀xφであるから，ψが真であれば，常にφは真である必要がある．従って仮定と矛盾するので，背理法からψ→∀xφ⊢∀x(ψ→φ) がいえる．
(nil)