さて，今回は述語論理における推論（証明）規則である．
最初の規則である．
入-=
これは，当たり前で，かつ余り役に立たない．次は，等号に関する削除の規則である．
去-=
いま，xがΦの束縛変数とする．明らかにt1, t2 は自由変数となる．t1 と t2 は等しいので，Φ[t2/x]と結論づけることができる．少し具体的な例を見てみる．それぞれ論理式は以下だとする．
t1: (x+1)
t2: (1+x)
Φx:((x>1)→(x>0))
論理式Φ[t1/x] は，（(x+1)>1)→((x+1)>0)である（t1/xは置き換えを表す）．いま，t2に変えた論理式 ((1+x)>1)→((1+x)>0)も正しいことがわかる．
さて，このどこが述語論理式の推論規則かと思ってしまうが，次につながる．
instantiation
インスタンス化（instantiation）と呼ばれる述語論理の推論規則を得ることができる．
前提が示すところは，全ての束縛変数xに関してΦは成立している．だとすると，例えば定項としてt（変項xの一つの値）をいれた場合でも成立しなくてはならない．
ずいぶんと後退しているようであるが，全称限量子を外せる効果は大きい．
(nil)
今回は，練習を兼ねて，限量子での同値の関係にある変形を見てみる．
「とべないトリがいる」は，述語「トリである」をB，述語「とべる」をFとすると，次の様に書ける．
∃x(B(x)∧¬F(x))
これは，「全てのトリがとべるわけではない」ということと同じと考えると，次の様にも書ける．
¬∀x (B(x) → F(x))
この式を変形してみる．B(x)→F(x)は，以前に命題論理のときに操作したように，¬B(x) ∨ F(x)と書ける．¬∀xP(x)が∃x(¬P(x))と書くことができれば，¬(¬B(x) ∨ F(x)）は，B(x)∧¬F(x)なので，最初と同じになる．
¬∀xP(x)が∃x(¬P(x))は，ここでは，明らかであるということにしておく（次回の全称量子化の置き換え・インスタンス化を使用する）．
さて，幾つかの定理を並べる．
なお，「⊣⊢」の意味は， φ1 ⊢ φ2 であり，かつ φ2 ⊢ φ1という定理を示している．これらの規則は背理法を用いて示すことができる．最後に，限量子の除去に関して，簡単に説明する．前半部分は，おそらく明らかであろう．なお，「束縛」と「限量子の除去」において，ψは，xを項として持つ．
幾つかの規則（定理）
| 否定 |
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| 束縛 |
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| 限量子の除去 |
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| 束縛範囲 |
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∃x φ ∨ ∃x ψ ⊣⊢ ∃x (φ ∨ ψ)
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| 束縛順 |
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∀x(ψ→φ)⊣⊢ψ→∀xφを説明する．
最初は，∀x(ψ→φ) ⊢ ψ→∀xφ から．
結論を否定すると，¬(ψ→∀xφ)．これは，ψ ∧ ¬∀xφと同じ．
ψも¬∀xφもともに真でなくてはならない．即ち，∃x¬φ（表の一番上の規則）
前提で，ψが真の場合，φはつねに真でなくてはならない．これは，偽の場合もあるという∃x¬φと矛盾するので，背理法から∀x(ψ→φ) ⊢ ψ→∀xφがいえる．
次にψ→∀xφ⊢∀x(ψ→φ) を示す．結論を否定して仮定を作る．∃x¬（ψ→φ）（表の一番上の規則から）．これは，∃x（ψ ∧¬φ）と変形できる．つまり，ψが真，φが偽になる組が存在する．ところが，前提は，ψ→∀xφであるから，ψが真であれば，常にφは真である必要がある．従って仮定と矛盾するので，背理法からψ→∀xφ⊢∀x(ψ→φ) がいえる．
(nil)
記号論理自体は，それ自体で閉じた世界である．
それを利用するとなれば，我々が住んでいる現実世界と紐づける必要がある．紐付けることで，始めて要求を管理するという目的に役立つことになる．
さて，述語論理に戻る．今回は，もう一つの述語論理の特徴である限量子（量化子）についてである．
限量子
| 種類 |
記号 |
文での使用例 |
| 全称限量子 |
∀xP(x) |
全てのxで，P(x)である |
| 存在限量子 |
∃xP(x) |
あるxで，P(x)である |
限量子とともに用いるxのことを束縛変項と呼ぶ．「”あるxにおいて”Pxが成り立つ」といっているのであるから，xは，「ある（∃）」によって束縛されている．束縛されていない変項のことを，自由変項と呼ぶ．
さて，例題に用いている列車の運行管理システムの例は，次のように記述できる．
∀tr1, tr2（Following(tr2, tr1) → Dist(tr2, tr1) > WCS-DIST(tr2)）
tr1，tr2は，束縛変数である．∀xP(x)→Q(x)というときに，限量子は，P(x)のxのみを束縛する．∀x(P(x)→Q(x))ならば，Q(x)のxも束縛されている．
参考までに，文の解釈を示しておく．
全ての列車に関して次が成立する．いま，tr1, tr2 と名前をつけ，tr2は，tr1の後ろを走っているとする．このときに，tr2とtr1の距離は，tr2の最悪時近接距離より大きくなければならない．
「全て」であるから命題論理でも同じように書くことができる．しかし，述語を使うことによって，文の構造が分かりやすくなる．また，複数の変項を持つことにより，表現できることが増える．
(nil)